tugas kuliah statistika bab 5: April 2014

BAB 5
MOMEN, KEMIRINGAN, DAN KURTOSIS

Skewness and Kurtosis

Rata-rata dan ukuran penyebaran dapat menggambarkan distribusi data tetapi tidak cukup untuk menggambarkan sifat distribusi. Untuk dapat menggambarkan karakteristik dari suatu distribusi data, kita menggunakan konsep-konsep lain yang dikenal sebagai kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis).

Skewness

Kemiringan (skewness) berarti ketidaksimetrisan. Sebuah distribusi dikatakan simetris apabila nilai-nilainya tersebar merata disekitar nilai rata-ratanya. Sebagai contoh, distribusi data berikut simetris terhadap nilai rata-ratanya, 3.

x	1	2	3	4	5
frek (f)	5	9	12	9	5

Pada contoh gambar berikut, distribusi data tidak simetris. Gambar pertama miring (menjulur) ke arah kiri dan gambar ke-2 miring ke arah kanan.

Pada distribusi data yang simetris, mean, median dan modus bernilai sama.

Beberapa langkah-langkah perhitungan digunakan untuk menyatakan arah dan tingkat kemiringan dari sebaran data. Langkah-langkah tersebut diperkenalkan oleh Pearson.

Koefisien kemiringan(Coefficient of Skewness):

Interpretasi: Untuk distribusi data yang simetris, Sk = 0. Apabila distribusi data menjulur ke kiri (negatively skewed), Sk bernilai negatif, dan apabila menjulur ke kanan(positively skewed), SK bernilai positif. Kisaran untuk SK antara -3 dan 3.

Ukuran kemiringan yang lain adalah koefisien β1 (baca 'beta-satu'):

dimana:

Interpretasi:

Distribusi dikatakan simetris apabila nilai b1 = 0. Skewness positif atau negatif tergantung pada nilai b1 apakah bernilai positif atau negatif.

Ukuran Skewness yang sering digunakan:

Skewness Populasi:

Skewness Sampel:

Source: D. N. Joanes and C. A. Gill. "Comparing Measures of Sample Skewness and Kurtosis". The Statistician 47(1):183–189.

atau formula berikut (MS Excel):

s = standar deviasi

NB: kedua formula di atas menghasilkan nilai skewness yang sama

Interpretasi:

Distribusi dikatakan simetris apabila nilai g1 = 0. Skewness positif atau negatif tergantung pada nilai g1 apakah bernilai positif atau negatif.

Menurut Bulmer, M. G., Principles of Statistics (Dover, 1979):

highly skewed: jika skewness kurang dari −1 atau lebih dari +1

moderately skewed: jika skewness antara −1 dan −½ atau antara +½ dan +1.

approximately symmetric: jika skewness is berada di antara −½ dan +½.

Kurtosis

Kurtosis merupakan ukuran untuk mengukur keruncingan distribusi data.

Distribusi pada gambar di atas semuanya simetris terhadap nilai rata-ratanya. Namun bentuk ketiganya tidak sama. Kurva berwarna biru dikenal sebagai mesokurtik (kurva normal), kurva berwarna merah dikenal sebagai leptokurtik (kurva runcing) dan kurva berwarna hijau dikenal sebagai platikurtik (kurva datar).

Kurtosis dihitung dengan menggunakan koefisien Pearson, β2 (baca 'beta - dua').

dimana:

Ukuran Kurtosis yang sering digunakan:

Kurtosis Populasi:

Kurtosis:

Excess Kurtosis:

Kurtosis Sampel:

atau formula berikut (MS Excel):

s = standar deviasi

NB: Excel menggunakan nilai Excess Kurtosis. Hasil perhitungan dari kedua formula di atas, menghasilkan nilai yang sama

Interpretasi:

Distribusi dikatakan:

Mesokurtik (Normal) jika b2 = 3

Leptokurtik jika b2 > 3

platikurtik jika b2 < 3

Analisis Korelasi Product Moment dalam Statistika

Analisis korelasi merupakan salah satu teknik statistik yang digunakan untuk menganalisis hubungan antara dua variabel atau lebih yang bersifat kuantitatif. Salah satu dari analisis korelasi tersebut adalah analisis korelasi product moment (Pearson). Variabel yang digunakan disini terbagi dua yaitu variabel bebas (x) dengan variabel terikat (y), dengan ketentuan data memiliki syarat-syarat tertentu.

Korelasi Pearson Product Moment (r) dapat diformulasikan sbb: